一方程求解

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/21 05:03:02
X²+Y²=208（X-Y）
求所有正整数解。
试出来了，但应该有方法解的。
X=48 Y=32
另一个解记不住了。
请给出过程。
无事勿扰

X²+Y²=208（X-Y）
①因X²+Y²是偶数，所以x,y都是奇数，或都是偶数
当x,y都是奇数时，不妨设x=2k+1 y=2p+1
(2k+1)²+(2p+1)²=208(2k+1-2p-1)
4k^2+4k+1+4p^2+4p+1=208*2*(k-p)
208*2*(k-p)是4的倍数
4k^2+4k+1+4p^2+4p+1=4(k^2+k+p^2+p)+2不是4的倍数
矛盾
所以x,y都是偶数
x=2k y=2p
4k^2+4p^2=208*2(k-p)
k^2+p^2=104(k-p)
重复过程①
可知，当x=16a y=16b时可得
a^2+b^2=13(a-b)
b(b+13)=a(13-a)
当a=13时b=0,不符合要求
a(13-a)共有 11*2, 10*3, 9*4, 8*5, 7*6 5种答案
带入可知，当a(13-a)时可得正整数解 b=2
a(13-a)=30 a=3/ a=10
即
x=48 y=32
x=160 y=32

(x-104)²+(y+104)²=（104倍根号2)²
这其实是一个以点（104，-104）为圆心，以104倍根号2为半径的一个圆
在圆上求解，这下简单了吧
把这个圆落在第一象限的所有点带进去试，就OK了
算了，再给你说明白点吧，根据圆方程就可以知道y的取值范围为：
-104-104倍根号2<=y<=-104+104倍根号2
因为要取正整数，所以1<=y<=43
那么这下就可以看出y取正整数有哪些了，然后再带进去试
注意这里一定要求y的取值范围而不能求x的取值范围
当然求x的取值范围也能算出来，但是那样的点就太多了，计算量相当大，求y的取值范围计算量就大大缩小了

配方或换元

给的太少

对不起，我才五年级。

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