11．2004年四川联赛试题,立体几何

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 12:59:25
已知正四棱锥V－ABCD的棱长都等于a，侧棱VB、VD的中点分别为H和K，若过A、H、K三点的平面交侧棱VC于L，则四边形AHLK的面积为_______________.
答案为根号5/6,谢谢!

图片上传不了~~~靠文字说明好了~~~

有图像的对称性易知：AL与HK垂直，而且三角形ALK与ALH全等，所以有：
S(AHLK)=2*S(△ALK)=(AL*HK)/2

面VAC中
作四棱锥的高VO交底面于O，交AL与O'，易知O'为VO的中点；
再作LM垂直于底面交AC于M；

设MC=x，则：AO=(√2)a/2, OO'=(√2)a/4, LM=x, AM=(√2)a-x
易得AM=2(√2)a/3, LM=(√2)a/3
所以AL=(√10)a/3

面VDB中
HK为中位线，HK=DB/2=(√2)a/2

所以S(AHLK)=[(√10)a/3]*[(√2)a/2]/2=(√5)a^2/6