高数微分应用题，请教高手！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 13:03:32
在第一象限内，求曲线2(x^2)+y^2=1上一点，使该点处的切线与曲线及两个坐标围成的面积最小，并求最小值。
如有不清楚，原题在图片中，请点击图片。

曲线在第一象限内的表达式为y=√(1-2x^2),x>0.
求导得切线斜率为y'=-2x/√(1-2x^2)----(1)式,
设要求的点坐标为(x0,y0),则
y0=√(1-2x0^2)-------(2)式,
它所在切线方程:
y-y0=y'*(x-x0)-------(3)式,
且在x0>0,y0>0的条件下,由(1),(2),(3),
可得其在x轴的截距a,y轴上的截距b分别为:
a=1/(2x0),b=1/√(1-2x0^2).
S=(1/2)ab=1/[4x0*√(1-2x0^2)]=1/(2√2)*1/[(√2x0)*√(1-2x0^2)]
≥1/(2√2)*1/(1/2)=√2/2.
当且仅当x0=1/2时等号成立,
y0=√2/2.
S'=S-П(√2/2)/4=(1-П/4)*(√2/2).