一个圆柱一个长方体一个正方体表面积相等谁的容积最大?

圆柱的容积大

当选择合适的半径和高的比例后，圆柱体的容积大。见。
http://zhidao.baidu.com/question/86987003.html

先比较长方体和正方体:

设容积都是V,对正方体,边长是a, a^3=V, a= V^(1/3),包装材料的表面积:S=6a^2 = 6V^(2/3), [1]

如果是长方体, abc=V, 面积S=2(ab+bc+ca) 均值不等式:

ab+bc+ca ≥ 3 (ab*bc*ca)^(1/3) = 3 (abc)^(2/3) = 3V^(2/3)

S = 2(ab+bc+ca) ≥ 6V^(2/3)

可以发现长方体容器用的材料要大于正方体. 排除长方体.

再比较正方体和圆柱体: 设圆柱体底面半径r,高h

体积 V= π r^2 h, 表面积:S=2π rh+2π r^2 =2 V/r + 2V/h = 2V(1/r + 1/h)

均值不等式,当 1/r = 1/h 即r=h时, (1/r + 1/h)最小,值为: 2 (1/r*1/h)^(1/2) = 2(1/r)

由 r=h 得 V=π r^2 h=π r^3, r=(V/π)^(1/3)

则S= 2V * 2/r = 4V/(V/π)^(1/3) = 4π^(1/3)*V^(2/3), [2]

比较[1][2], 由于4π^(1/3) < 6, 所以圆柱的容积大

圆柱