初中奥赛一道题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 22:17:33
如图,PDA与PBC分别三点共线，AB交CD与Q，且PQ平分角APC，记PA=a,PB=b,PC=c,PD=d,则a b c d的关系是。
请务必写明解题过程，谢谢了
这是初中奥赛的一道题，我做了许久做不出来，大家帮帮忙
答案是1/a+1/b=1/c+1/d

首先,这是射影几何学的问题

要想解决这个问题,有两个定理得先讲下

1.角平分线定理:(用你的图来说明),在三角形PDC内,PQ为角平分线,则有:PD/PC=DQ/QC

2.梅内劳斯（Menelaus）定理:这个可以看下这个网址http://source.mastvu.ah.cn/gaoxiao/ku/dbsf/jhx/GeometryFile/Chapter2WordFilterHml/G2-3Link1.htm

现在来解决这个问题

在三角形PDC内,PQ为角平分线,则有:PD/PC=DQ/QC
也就是d/c=DQ/QC

一条直线交三角形PDC的三边于A, Q, B

由梅内劳斯（Menelaus）定理可得:

(c−b)×a×DQ/[b×(a−d)×CQ]=1

而DQ/CQ=d/c
````````````````````````````

代入上式,整理可得

2cd=cb−bd
`````````````````````````````````````````

此处整理错误,过程完全正确,现更正如下

代入上式,整理可得:

acd-abd=acb-bcd

即: acd+bcd=acb+abd

两边同除以abcd可得

1/b+1/a=1/d+1/c

完毕