布丰投针的微积分理解问题 有高手么！！！

平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a，向此平面任投一长度为l（l小于a），试求此针与任一平行线相交的概率。

以x表示针的中点到最近的一条平行线的距离，β表示针与平行线的交角。
显然有0＜＝x＜＝a／2，0＜＝β＜＝Pi。用边长为a／2及Pi的长方形表示样本空间。为使针与平行线相交，必须x＜＝l*sinβ/2, 满足这个关系的区域面积是从0到Pi的l*sinβ对β的积分，可计算出这个概率的值是(2l)／(Pi*a)。

为什么为使针与平行线相交，必须x＜＝l*sinβ/2 （这里是l*（sinβ/2）还是（l*sinβ）/2

满足这个关系的区域面积是从0到Pi的l*sinβ对β的积分 这个积分求的是什么 怎么理解 谢谢

回答

这里是（l*sinβ）/2 = (l/2)*sinβ.
是线段刚好挨着1条平行线的时候，线段的中点到最近的平行线的距离。

那么，当线段的中点到最近的平行线的距离大于(l/2)*sinβ时，就说明线段和平行线之间没有相交。
当线段的中点到最近的平行线的距离小于或者等于(l/2)*sinβ时，就说明线段和平行线之间相交了。

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满足这个关系的区域面积是从0到Pi的l*sinβ对β的积分。
这个积分求的是线段和平行线相交的情形在整个样本空间中的测度【也就是几何度量，这里就是面积。】

全概率空间的面积知道了，事件发生的空间的面积也知道了。2者的比值就得到了事件发生的概率。
【几何概型，等可能。概率=面积之比】

全概率面积是什么 谢谢！！！！！！！！！
为什么是πa啊！ 这是关键！ 谢谢

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