请问警察因公殉职，国家有赔偿吗？有没有相关文件？怎样申请？大概有多少钱？

国家当然有赔偿了。
中华人民共和国公务员法
第七十七条 国家建立公务员保险制度，保障公务员在退休、患病、工伤、生育、失业等情况下获得帮助和补偿。
公务员因公致残的，享受国家规定的伤残待遇。公务员因公牺牲、因公死亡或者病故的，其亲属享受国家规定的抚恤和优待。
烈士褒扬条例 (征求意见稿)这个暂未通过，不过是迟早的事，以前的革命烈士褒扬条例也有相关条文
第十一条国家对烈士遗属发给烈士褒扬金，标准为烈士牺牲时上一年度的全国职工平均工资的15倍。烈士褒扬金由发给烈士证书的县级人民政府民政部门发给烈士的父母或者抚养人、配偶、子女；没有父母或者抚养人、配偶、子女的，发给未满18周岁的兄弟姐妹和已满18周岁但无生活来源且由该烈士生前供养的兄弟姐妹。
第十二条符合下列条件之一的烈士遗属，享受定期抚恤金：
(一)烈士的父母或者抚养人、配偶无劳动能力、无生活来源，或者收入水平低于当地居民平均生活水平的；
(二)烈士的子女未满18周岁或者已满18周岁但因残疾或者正在上学而无生活来源的；
(三)由烈士生前供养的兄弟姐妹未满18周岁或者已满18周岁但因正在上学而无生活来源的。

那不叫赔偿，那叫抚恤金。用不着你申请，所在单位领导会主动找到你家，主动对你慰问。警察因公牺牲的很多，但是从来没有人写申请主动申请，也没有因此产生矛盾，发生纠纷的，原因就是公安机关对因公牺牲抚恤安抚这方面做的很好，很到位

有的 他们的孩子有的还能进入公安系统工作

当然是有赔偿