雪球融化问题

杰克做了两个雪球, 大雪球的直径是小雪球的2倍. 天气转暖使雪球融化. 融化只在雪球表面进行, 融化的速率与雪球表面积成正比.

当大雪球一半的体积都融化掉时，小雪球的体积是原来的百分之多少？

A) 大约 20.27%

B) 大约 30.42%

C) 大约 50%

D) 大约 10.75%

答案是A
求过程详解

好像是一道大学的题目.
以下v为体积,s为面积,r为半径,k为比例系数.t为时间.

dv/dt=-d(4/3 π r^3)/dt=k s=k 4 π r^2
于是-4 π r^2 dr/dt=k 4 π r^2
dr/dt=-k,
即单位时间半径的减小量是相同的.
设小雪球开始的半径为x,则大雪球开始的半径为2x
大雪球体积减小到原来的一半时,半径减小到原来的3次根号下(1/2),
即变为3次根号下(1/2)(2x),
减小了2x-3次根号下(1/2)*(2x)= (1-3次根号下(1/2))*(2x),
于是小雪球的半径也减小(1-3次根号下(1/2))*(2x),
变为x-(1-3次根号下(1/2))*(2x)
=(3次根号下(1/2)-1/2)*(2x)
=(3次根号下(4)-1)x.
即半径减小到原来的(3次根号下(4)-1).
体积变为原来的(3次根号下(4)-1)^3≈0.20267686,
即小雪球体积变为原来的20.267686％