链式法则的问题，很难很深刻

方向v上的方向导数等于v和梯度向量的内积，没什么神秘的。

v(f) = df( v ) = < gradf, v >

对于你的式子，f是phai, X可以看做是M=R^(m*n)上的点，X(t)是
M上的一条曲线，df/dt就是f在这条曲线切方向v上的方向导数。
df/dX相当于把gradf的m*n个分量排成矩阵，dX/dt恰好就是v的分量
排成的矩阵，所以< gradf, v > = \sigma gradf_{i}^{j} * v_{i}^{j}
= tr( dX/dt * (df/dX)' )

我打好了，先给分我就发你.