交流电中的最大值和有效值之间为什么是根号2的关系

设一周期电流i(t)通过电阻R，由于电流是变化的，各瞬间功率i^2R不同，在极短时间dt内产生热量为i^2Rdt,在一个周期T内产生的热量为 ∫T i^2Rdt ,如果通过电阻R，经过时间T产生相等热量的直流电流的大小为I,

则有∫T i^2Rdt=I^2RT,

这就得到了电流的有效值I=[(1/T)∫T i^2dt]^(1/2)

对正弦量，设i(t)=ImSIN(wt+∮）
I={1/T∫T Im^2SIN^2(wt+∮)dt}^(1/2)

因为 SIN^2(wt+∮)=(1/2)[1-COS^2(wt+∮)]
所以 I={(Im^2/2T)∫T [1-COS^2(wt+∮)]dt}^(1/2)
={Im^2/2T[t]T}^(1/2)
=(Im^2/2)^(1/2)
=Im/[2^(1/2)]=0.707Im

推导出来的。在交流电变化的一个周期内，交流电流在电阻R上产生的热量相当于多大数值的直流电流在该电阻上所产生的热量，此直流电流的数值就是该交流电流的有效值。例如在同样两个电阻内，分别通以交流电i（t）和直流电I，通电时间相同，如果它们产生的总热量相等，则说这两个电流是等效的。交流电的有效值通常用U或（I）来表示。U表示等效电压，I表示等效电流。设一电阻R，通以交流电i，在很短的一段时间dt内，流经电阻R的交流电可认为是恒定的，因此在这很短的时间内在R上产生的热量
dW=i2Rdt
在一个周期内交流电在电阻上产生的总热量
而直流电I在同一时间T内在该电阻上产生的热量
W=i^2Rt=A^2Rsin^2(ωt+φ)
根据有效值的定义有
所以有效值
根据上式，有时也把有效值称为“平均根值”。对正弦交流电，有i=Imsinωt，故
而其中
可见正弦交流电的有效值等于峰值的0.707倍。通常，交流电表都是按有效值来刻度的。

准确来说是正弦交变电流的最大值是有效值的根二倍
这是计算得出的
其它的交流电就不一定了

微积分