球的表面积用积分怎么证明

设球方程为x^2+y^2+z^2=a^2,则z=根号（a^2-x^2-y^2)
偏导数dz/dx=-x/根号（a^2-x^2-y^2),dz/dy=-y/根号（a^2-x^2-y^2)
上半球在平面XOY上的投影为D:x^2+y^2=a^2
半球表面积S=∫∫根号[1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2]dxdy
=a∫∫dxdy/√(a^2-x^2-y^2)
=a∫(0,2pai)dθ∫(0,a)rdr/√(a^2-r^2)
=2pai*a∫(0,a)rdr/√a^2-r^2)
用于被积函数在D上无界，设0<b<a,利用极限b→a求S的极限limS就是球表面积
S=2pai*a∫(0,b)rdr/√a^2-r^2)
=2pai*a[a-√(a^2-b^2)]
所以b→a时S→2pai*a^2
因此，球的表面积为2S=4pai*a^2

2*pi*∫(b,a) y*(1+y'^2)^0.5 dx=2*pi*#y*s
y=f(x)是[a,b]上的曲线方程，s是是[a,b]上的曲线长度,#y是曲线重心离旋转轴的距离。
这是通用的旋转体表面积公式。