双曲线和圆

答：
由于球能放进杯底，设球的半径为r,则
球心坐标为（0,a+r)
设双曲线上任意一点坐标为(asecθ,btanθ),θ∈[0,π/2)
由题意球心到双曲线上的人一点的距离都大于等于半径，
(asecθ)^2+(btanθ-a-r)^2≥r^2
(asecθ)^2+(btanθ-a)^2≥2r(btanθ-a)
所以当btanθ-a≤0，不等式恒成立，任何球都能放入酒杯。
当tanθ>a/b，
r≤[(asecθ)^2+(btanθ-a)^2]/[2(btanθ-a)]
={a^2[(tanθ)^2+1]+(btanθ-a)^2}/[2(btanθ-a)]
设y={a^2[(tanθ)^+1]+(btanθ-a)^2}/[2(btanθ-a]
令m=btanθ-a>0,
y={a^2[(m+a)^2/b^2+1]+m^2}/(2m)
=(b^2+a^2)/(2b^2)*m+[a^2(a^2+b^2)]/(2b^2)*(1/m)+a^3/b^2
y'=(a^2+b^2)/(2b^2)-a^2(a^2+b^2)/(2b^2)*(1/m^2)
令y'=0,则y在m=a时取到极小值
y=a+2a^3/b^2
由此知这个球的半径不能超过(a+2a^3/b^2).