关于圆的计算与证明中辅助线的作法

圆的切线的性质包括切线的性质定理和它的两个推论．

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

切线的性质主要有五个：

(1)切线和圆只有一个公共点；

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；

(3)切线垂直于经过切点的半径；

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．

其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的．

切线的判定定理和性质定理容易混淆，应该分清判定定理和性质定理的题设和结论，注意在什么情况下可以用切线的判定，在什么情况下可以用切线的性质．下面举例加以说明．

【例1】 如图1所示，△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E，且DE⊥AC．求证：AB=AC．

证明：连结OD．

∵DE是⊙O的切线，

∴DE⊥OD．

∵DE⊥AC，

∴OD‖AC．

∠ODB=∠C．

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB．

∵∠B=∠C，

∴AB=AC．

此题中已知DE是⊙O的切线，利用切线的性质得出DE⊥OD，进而推证出结论．

【例2】 已知：如图2所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于D．求证：AC与⊙O相切．

证明：连结OD，作OE⊥AC，垂足为E．

∵⊙O与腰AB相切于D，

∴OD⊥AB

∴∠BDO=∠CEO=90°．

∵O是底边BC的中点，

∴OB