如何用几种方法证明F(X)+1/F(X)≥2

题目中暗含条件F(X)>0，否则F(X)+1/F(X)<0，与题意不符
证法一、
很显然当F(X)≥2时，1/F(X)>0,所以F(X)+1/F(X)>2不等式成立
同理当0<F(X)≤1/2，1/F(X))≥2，所以F(X)+1/F(X)>2不等式成立
很显然，当F(X)=1时，F(X)+1/F(X)=2,不等式成立
对于1/2<F(X)<1时，1/F(X)>1===>1/F(X)-1>0,1-F(X)>0
所以(1-F(X))(1/F(X)-1)>0,
F(X)+1/F(X)-2=(1-F(X))(1/F(X)-1) ，
所以F(X)+1/F(X)-2>0,即F(X)+1/F(X)>2
对于1<F(X)<2时，F(X)-1>0,1/F(X)<1，即1-1/F(X)>0
所以(F(X)-1)(1-1/F(X))>0
(F(X)-1)(1-1/F(X)=F(X)+1/F(X)-2>0
即F(X)+1/F(X)>2
纵上所述，对于F(X)>0,F(X)+1/F(X)≥2成立
证法二、
本题等价于，对于任何x>0,证明f(x)=x+1/x≥2，
下面判断f(x)单调性
对于，x1>x2≥1，x1-x2>0,x1x2>1,1/(x1x2)<1,1-1/(x1x2)>0,
f(x1)-f(x2)=x1-x2+1/x1-1/x2=(x1-x2)(1-1/(x1x2))>0
即在区间[1,+∞)上f(x)为单调增函数,即当x取最小值，即x=1时，f(x)取得最小值2，
那么对于给定的x≥1,有f(x)》2
对于1≥x1>x2>0,x1-x2>0,x1x2<1,1/(x1x2)>1,1-1/(x1x2)<0
f(x1)-f(x2)=x1-x2+1/x1-1/x2=(x1-x2)(1-1/(x1x2