奥林匹克的2道题目

1 该数列的第K项=（k个k)=k*(1111111……）（k个1）
故ak=k[10^(k-1)+10^(k-2)+……+1]=k*[1-10^k]/(1-10)
ak=k*(10^k-1)/9
a100=100*(10^100-1)/9
令bk=k*10^k
对该数列求和
Tk=b1+b2+……+bk
=1*10+2*10^2+……+k*10^k
则kTk=1*10^2+2*10^3+……+k*10^(k+1)
错位相减得(k-1)Tk=-(1*10+1*10^2+1*10^3+……+1*10^k)+k*10^(k+1)
(k-1)Tk=-[10^(k+1)-10]/9+k*10^(k+1)
算出Tk
再由ak=(bk/9)-k/9
故对ak求和得Sk=Tk/9-(1+2+……+k)/9
把Tk代入即可（俺不想算，你自己算算哈）
2 分母有理化
1/(√k+√(k+1])=(√(k+1)-√k)/[(√(k+1)+√k)(√(k+1)-√k)]
= √(k+1)-√k
故原式=√2-1+√3-√2+√4-√3+……+√2009-√2008
=√2009-1

利用1/(根号n+根号（n+1））=根号（n+1）-根号n

(1/1+根号2)+(1/根号2+根号3）+。。+（1/根号2008加根号2009）
=根号2-1+根号2-2+。。。+根号2009-根号2008
=根号2009 - 1