函数的连续性为什么是这样定义的？

比如实数的连续性可以用确界定理去理解，如果某个点被挖去，则这个点左边的数集没有上确界。
那函数的连续性又如何理解呢？
为什么只要当x趋向x0时，f(x)趋向f(x0)就可以证明在这个点上是连续的呢？
或者这么说吧，该如何深入的去理解？
为什么是这样定义？
我的理解是这样的，一个函数f(x)在点x0处是否连续
是看横轴上是否连续和纵轴上是否连续
横轴上是否连续好判断的，因为任意一个x0都是对应着一个函数值
所以只要考虑f(x)在x轴上的投影就可以了
这个其实就是考虑在x0这个点是否被挖去，其实就是实数的连续性

而在纵轴上是否连续考虑就比较麻烦了
因为一个函数值比如说是h,它可能对应的x轴上的点有好几个，比如x1,x2,x0等等
所以显然不能用投影到y轴上的办法去理解。

而按函数连续性的定义，其实就是f(x0)要等于f(x)在x0这个点的极限值。这里假定这个极限值是a。
我想请教的是，是否有类似理解实数连续性的方法来理解纵轴上的连续性呢？
我还没理清头绪

请教各位老师了。谢谢哦

to yanrding:你说的情况不一定的吧，可能会有无穷多个的情况的

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