数学初三一难题 综合体题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 07:23:55
如图,在△ABC中,∠C=90°,点O为AB中点,以O为坐标原点，x轴与AC平行，y轴与CB平行，建立直角坐标系，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N。将一把三角尺的直角定点放在坐标原点O处，绕点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q。（1）证明：△OMP∽△ONQ；（2）若∠A=60°，AB=4.设点P的横坐标为x，PQ长为L。当点P在边AC上运动时，求L与x的函数关系式及定义域；（3）若∠A=60°，AB=4，当△PQC的面积为二分之根号三时，试求CP的长图片地址：
只有步骤一点不少，清晰明白的才给分！
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角OMC=ONQ=90度
角MOP=90-PON
角NOQ=90-PON
角MOP=角NOQ
直角三角形有一个锐角相等
所以三角形相似

AO=AB/2=2
OM=AOsin60=√3
所以P纵坐标是-√3
P(x,-√3),PM=|x|
因为O是AB中点，所以BON和OAM全等
AM=ON
AM=AOcos60=2/2=1
由上面相似得ON/OM=OQ/OP=1/√3
OP=√3OQ
OP^2=OM^2+MP^2=3+x^2
OQ^2=OP^2/(√3)^2=(x^2+3)/3
L^2=O^2+OP^2=4(x^2+3)/3
L=2√(x^2+3)/√3
CM=ON=AM=1
所以A(-1,-√3),C(1,-√3)
所以-1<=x<=1

PQ=L=2√(x^2+3)/√3
AC=2
所以CP=2-x
因为OQ/OP=1/√3
所以QN/QN=1/√3
PM=|x|,QN=|x|/√3
CN=OM=√3
所以CQ=√3+x
所以S=CQ*CP/2=(√3+x)*(2-x)/2=√3/2
x=(2-√3±√7)/2,-1<=x<=1
所以x=(2-√3-√7)/2
CP= 2-x=(2+√3+√7)/2

1)∠MOP+∠PON=90,
∠QON+∠PON=90,
∠MOP=∠NOQ,

∠OMP=∠ONQ=90

△OMP∽△ONQ

2) 因为△OMP∽△ONQ，
所以：OM:ON=MP:NQ
√3:1=x:NQ
NQ=√3X/3

三角形OMP中，OP^2=MP^2+OM^2=X^2+3,
三角形ONQ中，OQ^2=NQ^2+ON^2=X^2/3+1,

三角形OPQ中，PN^2=OP^2+OQ^2=4X^2/