初3数学推理

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 03:06:16
如图，AB//CD,AD//CE，F,G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB,AD,CD,CE于点M,N,P,Q，求证：MN+PQ=2PN

∵CE‖AD ∴PQ：PN=CQ：ND
∵AB‖CD ∴PN：MN=DN：AN
∴PQ：PN：MN=CQ：DN：AN
过F作FH‖CE
∵CE‖AD ∴CE‖FH‖AD
又∵F为AC中点
∴FH为梯形ANQC的中位线
∴FH=1/2(CQ+AN)
又∵G为FD中点
∴△FGH≌△DGN
∴FH=DN
∴CQ+AN=2FH=2DN
又∴PQ：PN：MN=CQ：DN：AN
∴PQ+MN=2PN

解法一:
∵CE‖AD ∴PQ：PN=CQ：ND
∵AB‖CD ∴PN：MN=DN：AN
∴PQ：PN：MN=CQ：DN：AN
过F作FH‖CE
∵CE‖AD ∴CE‖FH‖AD
又∵F为AC中点
∴FH为梯形ANQC的中位线
∴FH=1/2(CQ+AN)
又∵G为FD中点
∴△FGH≌△DGN
∴FH=DN
∴CQ+AN=2FH=2DN
又∴PQ：PN：MN=CQ：DN：AN
∴PQ+MN=2PN
解法二：
证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，
∵F是AC的中点，
∴DF的延长线必过O点，且DGOG=13．
∵AB∥CD，
∴MNPN=ANDN．
∵AD∥CE，
∴PQPN=CQDN．
∴MNPN+PQPN=ANDN+CQDN=AN+CQDN．
又DNOQ=DGOG=13，
∴OQ=3DN．
∴CQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD，AN=AD-DN．
∴AN+CQ=2DN．
∴MNPN+PQPN=AN+CQDN=2．
即MN+PQ=2PN．