奥数题 回文数

32423,64846
答案写起来比较繁,所以简略一点.不好意思.不过可以提示下,五位数可以表示为abcba,写成方程的形式可以为10000a+1000b+100c+10b+a=10001a+1010b+100c,为7的倍数,则表示除以7后的这三项的余数可凑整.即5a+6b+2c=7*k1,k1代表任意一整数,之后的k2,k3意同.且a,b,c均为小于10的正整数.

同理由换位数过后的变化条件可得:
9b+c=11*k2
4a+8b+6c=13*k3

取第二个式子进行试算比较简便,9b+c=11,22,33,44,55
上式五种情况下,得b=1,2,3,4,5;c=2,4,6,8,10.
最后一种情况下,c=10不满足条件,要舍去.

由b,c的四种可能组合去代入第三式求出a,得:
8b+6c=20,40,60,80;4a+8b+6c=4a+20,4a+40,4a+60,4a+80,可知均为4的倍数,而4与13的最小公倍数依次为:52,104,208,...
当取52时,a=8,3,-2,-7,后面二种情况小于0,要舍去.将还剩下的两种情况代入第一式检验,
5a+6b+2c=50,35. 50不是7的倍数,舍去,只剩下第二情况.
得此时的回文数为32423.

当取104时,a=21,16,11,6. 前三种情况均大于10,要舍去.将剩下的最后一种情况代入第一式检验,
5a+6b+2c=70,满足,
得此时的回文数为:64846

当取208时,无一满足,
综上,存在两个可能性:32423,64846