奥数题.竞赛题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/04 15:00:39
一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7千米，从早晨7点开车，有18列货车由第11站顺次出发，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每时60千米，早晨8点，由第一站发出一列客车，向第11站驶出，时速是100千米，在到达终点站前，货车与客车都比停靠任何一站，问在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？
要详解！要快！我急用！

(1)把18列货车按出发的先后顺序标号，则客车出发时第1列货车在距第1站10千米处。第i列货车在距第1站10+5（i-1）=5+5i千米处。因此客车与第i列货车相遇地点在距第1站(100/(100+60))(5+5i)=(25+25i)/8千米处。

(2)假设客车可在第k站到第k+1站之间相遇三辆货车。相遇第一辆时地点距第k站x千米，则此时客车距第k+1站7-x千米，第三辆货车距第k+1站3+x千米。则必有(7-x)/(3-x)>100/60,
解得x<3/4.

(3)由(1)(2)可得我们要找i使得(25+25i)/8除以7所得余数<3/4，则i就是和客车相遇的第一辆车。计算可得i=8满足要求。第8列货车与客车相遇地点距第1站28.125千米处。从而可知k=5。即在第5站和第6站之间客车能与3列货车先后相遇。