数学竞赛题,高手进

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 04:56:54
一个半圆,其直径为AB,在线段AB内任取一点(除A,B外)为C,以A为圆心AC为半径交半圆于D点,以B为圆心BC为半径交半圆与E点,取DE中点为F,连接CF
求证:CF垂直于AB
图在下面

证明：
连接AD,AF,BE,BF
在三角形ADF,BEF中使用余弦定理，
AF^2=AD^2+DF^2-2AD*DFcos∠ADF
BF^2=BE^2+EF^2-2BE*EFcos∠BEF
两式可化为
AF^2-AC^2=DF^2+2AD*DFcos∠ABE(AC=AD,∠ADF+∠ABE=180°)
BF^2-BC^2=EF^2+2BE*EFcos∠BAD(BC=BE,∠BEF+∠BAD=180°)
连接BD,AE,
AD=ABcos∠BAD,BE=ABcos∠ABE,
结合DF=EF,
将角代入上式，得到
AF^2-AC^2=BF^2-BC^2,
所以CF⊥AB

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