过点P（0，2）作直线交椭圆X^2/2+Y^2=1于A、B两点，O为原点。当三角形AOB面积为2/3时，求直线的方程

设直线为y-2=kx
与椭圆方程X^2/2+Y^2=1联立，得到
X^2/2+(kx+2)^2=1
(k^2+1/2)x^2+4kx+3=0
根的判别式=16k^2-12(k^2+1/2)=4k^2-6>0
k^2>2/3
x1+x2=-4k/(k^2+1/2)
x1x2=3/(k^2+1/2)

两交点距离=根号下(k^2+1)乘以|x2-x1|
=根号下(k^2+1)乘以|x2-x1|

原点到两交点所在直线距离
=|k*0-0+2|/根号下(k^2+1)

三角形面积
=1/2*根号下(k^2+1)乘以|x2-x1|乘以|k*0-0+2|/根号下(k^2+1)
=|x2-x1|
=根号下[(x1+x2)^2-4x1x2]
=根号下[(4k^2-6)/(k^2+1/2)^2]
=根号下[4/(k^2+1/2)-8/(k^2+1/2)^2]
=2/3
换元,令m=4/(k^2+1/2),m<24/7
则=根号下(m-m^2/2)=2/3
m-m^2/2=4/9
9m^2-18m+8=0
(3m-2)(3m-4)=0
m=2/3或m=4/3
[i]m=2/3
4/(k^2+1/2)=2/3
[ii]m=4/3
4/(k^2+1/2)=4/3
分别解出k值,注意判别式k^2>2/3.的条件.