问个线性代数题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/06 09:13:46
设A是m×n矩阵，R（A）＝r，证明存在秩为r的m×r矩阵B与秩为r的r×n矩阵C使A＝BC

这个叫做矩阵的满秩分解，《矩阵论》上的定理。
证明：
A是m×n矩阵，R（A）＝r，则A一定能通过初等行列变换变成如下矩阵
1 0 0 ...0 0
0 1 0 ...0 0
0 0 1 ...0 0
...
0 0 0 ...0 0
就是左上角是一个r阶单位阵，其余部分都是0的m*n矩阵，记这个矩阵为T。
则A＝PTQ，其中P是m*m的可逆阵，Q是n*n的可你阵。
现在将T分解，B=U*V=
1 0 0 *
0 1 0
0 0 1
...
0 0 0

1 0 0 ...0 0
0 1 0 ...0 0
0 0 1 ...0 0

U是m*r阶矩阵，其中上面是一个r阶单位阵
V是r*n阶矩阵，其中左边是一个r阶单位阵
这样正好T＝U*V

所以A=PUVQ＝（PU）*（VQ）=B*C