the gril is always smiling happily可以这样吗?

可以，语法上都没错。
只是always do sth.意思是“总是做某事”，而be always doing sth.意思是“老是做某事”，always和进行时态连用时往往带有感情色彩，或批评或赞扬或其他。

个人见解
觉得the girl always smiles happily好些，这个女孩总是开心地笑，这很明显应该是个一般现在式，如果是the gril is always smiling happily就是这个女孩一直在开心地笑（有点吓人），或者smiling翻成微笑的，也能译的通，看语境吧,

可以，ing 强调状态