新概念英语小疑问

on是在草上漫无目的地跑
across突出是穿过
根据文意应该是across，是跑过。

across 的意思不是说它在草地上跑，而是跑着穿过草地
on 则是在草上跑，不过有点chinglish意味，一般不这么说的吧

原文为：
is’runing across the grass。
is’runing after a cat。
对以e结尾的动词，要去掉e，再加ing。
acorss指横穿；穿过的意思而after指在......之后，所以running是跑的意思across是横穿，为什么整句话的翻译是：它在草地上跑不是it's running on the grass

根据文意应该是across

课文里表明的也是穿过，好吗？