求道高二立体几何趣味题

在棱长为4的正方体内的八个角处,分别放入八个半径为1的小球,球与所在处的三个面都相切.那这个正方体的中间还能放入半径为多大的球?

答案：设：能放入半径为R的球
1.正方体的对角线=4√3，正方体中心到各顶点的距离=2√3。
2.小球中心到各顶点的距离=√3。
3.小球球面到正方体中心的最小距离R=2√3-√3-1=√3-1。

已知正三角形内切圆半径为高的1/3，证正四面体内切球半径为高的1/4
分割为三个三角形/四个正四面体，高为总高的1/3 1/4

正四面体边长根号2，求外切球表面积