证明高斯面电势平均值等于球心电势

给一个证明，会涉及到积分和求导符号，不知道能看懂不。

设有一个球面，设其半径为R, 球心为坐标原点。下面会把电势随空间的分布用球坐标表示：V(r,theta,phi).球心的电势即V(r=0),球面上的电势为V(r=R,theta,phi)。

因为这个球面中不包含电荷，所以穿过这个球面的电通量为零（高斯定理），并根据电场是电势的导数，而电场在球面法向上的分量是电势V对r的偏导(\p V)/(\p r)【这里的\p代表偏导符号】。于是得到积分：\int (\p V)/(\p r) dA=0.【这个式子里的\int代表对球面积分，dA是球面的面积微元，即dA=R^2 sin(theta) d_theta d_phi】。继续将方程两面除以R^2,得到\int (\p V)/(\p r) d_Omega=0.这里d_Omega是立体角微元d_Omega=sin(theta) d_theta d_phi。

注意上面这个方程不仅仅在半径为R的球面上成立，而是对于所有r<R的球面都成立。理由仍是高斯定理。于是可以把这个方程的左边从r=0积分到r=R.然后调换积分顺序，先对r积分：\int (\p V)/(\p r) dr=V(R,theta,phi)-V(0),再继续对立体角积分：\int [V(R,theta,phi)-V(0)] d_Omega=\int V((R,theta,phi) d_Omega - 4 \pi V(0),【这里用到V(0)与theta和phi无关，而单独的立体角积分出来是4 \pi】. 方程的右边当然还是零，于是就有V(0)={\int V((R,theta,phi) d_Omega }/(4 \pi),这个等式的右边就是电势在半径为R的球面上的平均值。

1.球内无电荷，电力线起于正电荷终于负电荷，所以等势面上每个对应电力线进入的点都对应着电力线穿出的点。
2.垂直电力线移动（电荷），不做功。沿电力线向高向低做功大小相等符号相反。
3.电力线不交叉，于是可以取垂直电力线路经移动到电力线上。