高考函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 05:59:41
定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（x/5）=1/2f(x),且当0≤x1≤x2≤1时,f(x1)≤f(x2),则f(1/100)=?

由f（x）+f（1-x）=1
可得f(1/2)+f(1-1/2)=1
即f(1/2)=1/2

由f（x/5）=1/2f(x）
可得f(1/5)=1/2f(1)=1/2
即f(1/5)=1/2

当0≤x1≤x2≤1时,f(x1)≤f(x2),
0≤1/4≤1/2≤1,所以f(1/4)≤f(1/2)
0≤1/5≤1/4≤1,所以f(1/5)≤f(1/4)
即f(1/5)≤f(1/4)≤f(1/2)
因为f(1/2)=1/2 f(1/5)=1/2
所以f(1/4)=1/2

f(1/100)=1/2f(1/20)=1/4f(1/4)=1/4*1/2=1/8

由f(0)=0得到
f(1)=1
所以
f(1/5)=1/2f(1)=1/2
又当x=1/2时
f(1/2)*2=1 即f(1/2)=1/2
于是f(1/5)=f(1/2)
由于0≤x1<x2≤1时，f(x1)≤f(x2)
所以当1/5≤x≤1/2 时f(x)=1/2
所以 f(1/4)=1/2

于是
f(1/100)=1/2*f(1/20)=1/2*1/2*f(1/4)=1/8