导数大于0与单调增加的关系

反过来不成立，原因很多，首先f(x)单调增加，导函数就存在吗，其次，导函数存在，那么可能有等于0的点：比如f(x)=x^3

在(a,b)上f'(x)>0说明了两个问题
1 f(x)在(a,b)上处处可导。
2 f(x)在(a,b)上斜率大于0

但这并不说明f(x)在(a,b)上是连续的，f(x)有间断点的话，他就称不上是单调函数了。
如果你好好看看书的话，书上的定义是f(x)[a,b]上连续，在(a,b)上可导。f’(x)>=0且在（a，b）的任一子区间内不恒为0。这个函数就是单调增。
同样的 f(x)在[a,b]上连续，在（a，b）上可导，函数单调增。也可以推出来f'(x)大于0.

你写的那个，既不是充分条件也不是必要条件，我都可以举出反例。
f(x)=x 规定定义域x不等于1 这个函数在负无穷到正无穷上都可导，且大于0（在x=1时左导=右导），但它不连续。所以不能说他是单调函数。

而一个分段函数，当x<0时，f(x)=x+1 x>=0时f(x)=x+2.这个函数是单调增的，但是在x=0点处不可导，那么你就不能说它在负无穷到正无穷上导数大于0了。

f'(x)是斜率， 斜率如果大于零，就说明函数的趋向是增的。