如何证明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一

积分。
不然用祖暅原理加一点几何直观的办法也可以。

会问这个问题的大概肯定不会微积分，所以我说一下用祖暅原理的想法。
祖暅原理指：等高处横截面积恒相等的两个立体，其体积也必然相等。严格证明其实还是要用微积分，不过这个比较直观，拿来用吧。

圆锥的横截面是一个圆，用几何关系不难推出截面圆的半径与截面与顶点距离h、圆锥高H及底面大圆半径R的关系（请自己画个图做），设它为r，则易见r = Rh/H。
于是看出r与高h是一次关系，故可以构造一个三棱锥，使它与圆锥等高且截面积与之相等。问题转化为求三棱锥体积。
三棱锥体积可以用割补的方法来证明，为了简单，还可以用祖暅原理化为求底为直角三角形的直棱锥，在立方体上进行割补。就不详细写了。

用一个等底等高的圆柱和圆锥，用圆柱装一杯沙子，倒在圆锥里，三次可以倒完；用圆锥装土倒在圆柱里，到三次可以到满。由此说明圆锥是等底等高圆柱的体积的三分之一。

做实验