数列问题 通项公式为an=n（10^n-1)/9 求其Sn=?

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/21 07:23:49
如题 请作出详细过程解答，谢谢

解:an=n(10^n-1)/9
=(n*10^n)/9-(1/9)
=(n/9)*(10^n)-(1/9)
则:
Sn
=a1+a2+...+a(n-1)+an

=[(1/9)*(10^1)-(1/9)]
+[(2/9)*(10^2)-(1/9)]
+...+[(n-1)/9*10^(n-1)-(1/9)]
+[(n/9)*(10^n)-(1/9)]

=[(1/9)*(10^1)+(2/9)*(10^2)+...+(n/9)*(10^n)] - [n*(1/9)]

=[(1/9)*(10^1)+(2/9)*(10^2)+...+(n/9)*(10^n)] - [(n/9)]

设Tn
=[(1/9)*(10^1)+(2/9)*(10^2)+...+(n/9)*(10^n)]
=(1/9)[1*10^1+2*10^2+......+n*10^n] ----(1)

则:
10*Tn
=(1/9)[ 0 +1*10^2+2*10^3+..+(n-1)*10^n+n*10^(n+1)] ------(2)

(1)-(2),得:
-9Tn=(1/9)[1*10^1+1*10^2+1*10^3+...+1*10^n
-n*10^(n+1)]

-9Tn=(1/9)[10*(1-10^n)/(1-10)-n*10^(n+1)]
=(1/9)[(10/9)*(10^n-1)-10n*(10^n)]
=[(1-9n)*10^(n+1)-10]/81
则:Tn=(-1/729)*[(1-9n)*10^(n+1)-10]

则:Sn=Tn-(n/9)
=-(-1/729)*[(1-9n)*10^(n+1)-10]-(n/9)