关于棣莫弗定理

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 08:20:31
棣莫弗定理，即(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφ
对于三角式(cosφ+sinφ)^n=cosnφ+sinnφ成立吗
如何证明？

不成立！
“cosφ+sinφ”是实数，化为三角形式为：
当cosφ+sinφ≥0时，
cosφ+sinφ＝|cosφ+sinφ|(cos0+isin0)
当cosφ+sinφ＜0时，
cosφ+sinφ＝|cosφ+sinφ|(cosπ+isinπ)
所以，cosφ+sinφ的模是|cosφ+sinφ|，它的辐角是：0或π，而不是φ！
当cosφ+sinφ≥0时，
(cosφ+sinφ)^n＝|cosφ+sinφ|^n(cos0+isin0)
当cosφ+sinφ＜0时，
(cosφ+sinφ)^n＝|cosφ+sinφ|^n(cosnπ+isinnπ)

不成立啊
取n=2，则(cosφ+sinφ)^2=1+2cosφsinφ=1+sin2φ
但这时cos2φ=1不能恒成立。
所以那个三角式是不成立的

不成立。

a=45度时

cosa+sina=根号2

(cosφ+sinφ)^n=2^(n/2)

当n>=2时
(cosφ+sinφ)^n=2^(n/2)>=2

而cosnφ+sinnφ 最大值为根号2
2>根号2

所以
n>=2时 都不成立