数学难题，几何

证明：
记∠ABD=∠1,∠DBP=∠2,∠PBF=∠3,FBC=∠4,
∠DBE=90°，所以∠2,∠3互余，∠1，∠4互余。
S△ABD/S△PBD=AD/DP,
S△ABD/S△PBD=(1/2*AB*BD*sin∠1)/(1/2*BP*BD*sin∠2)=ABsin∠1/BPsin∠2
所以
AD/DP=ABsin∠1/BPsin∠2,
同理可得
PF/FC=BPsin∠3/BCsin∠4,
BC/BA=BC/BA,
上述三式相乘，得
(AD/DP)*(PF/FC)*(CB/BA)=(sin∠1sin∠3)/(sin∠2sin∠4)
三角形PAC中AF,BP,CD三线共点，由塞瓦定理，
(AD/DP)*(PF/FC)*(CB/BA)=1,
(sin∠1sin∠3)/(sin∠2sin∠4)=1,
∠1,∠4互余，∠2,∠4互余，
sin∠1=cos∠4,sin∠2=cos∠3,
代入上式得
cos∠4sin∠3=cos∠3sin∠4
tan∠3=tan∠4.
即∠PBF=∠FBC,
BF是∠PBC的平分线。