物理竞赛需要数学手册

任何一本数学手册都是罗列各种公式的，你要的椭圆圆冠面积更是基本公式。自己去找本大学教材粗略的学下一元定积分就好了，对于积分原理的理解对学物理竞赛是有帮助的。
但是也不要去追求过高的高等数学知识，竞赛还是面向高中的，熟练的掌握字母运算才是王道。矩阵变换什么的不要着急去学，大学里来得及，相对论从来不敢考太难。
最后给你提示一下你的具体问题。椭圆可以理解为圆面在另一个空间平面上的投影，所以你会算圆冠面积的话，椭圆圆冠应该还是很好算的。