在1、11、111、............11..........1（最大数由2009个1组成）这2009个自然数中，必有一个是2009的倍

看0，1，11，……，2009个1
一共2010个数
一个数除以2009，余数从0到2008，有2009种可能
所以前面的2010个数除以2009，必有2个与数相同
若这两个数中一个是0，则另一个数能被2009整除
若都不是0，则摄为m个1和n个1，m>n
则相减
是m-n个1后面n个0
=(m-n)个1*10^n
因为两个数除2009余数相等，所以相见能被2009整除
因为10^n和2009互质
所以(m-n)个1能被2009整除

综上，必有一个是2009的倍数

首先，一定存在2009的倍数，这个原因楼上的已经说得很清楚了。
然后，有个一般的结论，就是只要n的因数分解中不含有5和2，那它必定是某个清一数的约数，而且该清一数的最小长度为1/n的循环节长度。
最后，当1的个数为210时，刚好能整除2009。
即1111……111(210个1)
=2009×55306675515734749184226536142912449532658591892041369393285769592389801449034898512250428626735246944306177755655107571483878104087163320612797964714341020961230020463469940821857198163818372877606327083679。

1/2009是循环小数,其循环节的数x少于2009(用竖式除法时,其余数小于2009,根据抽屉原理得除2009次内余数必有1;)即10^x-1能整除2009;10^x-1=111...1(x个)*9;2009与9互质;所以111...1(x个,小于2009)是2009的整数倍.