三重积分难题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 11:59:28
被积函数为X^2+Y^2,积分区域为Y^2=2Z,X=0绕0Z轴旋转一周而成的曲面与两平面Z=2、Z=8所围之形体。
要求详细解答

用柱坐标解.
x=r·cos θ;y=r·sin θ;则被积函数X^2+Y^2=r^2;
=∫(从2到8)dz ∫(从0到2π)dθ ∫(从0到√(2Z)) r·r^2 dr
=2π/4∫(从2到8)dz ·r^4|(从0到√(2Z))
=π/2∫(从2到8) (16z^4-0) dz
=8π∫(从2到8)z^4 dz
=(8π/5) z^5|(从2到8)
=(8π/5)(8^5-2^5)
=261888π/5