8年级数学。。急！！！！在线等

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 14:15:06
矩形ABCD的长BC=4,宽AB=3,P是AD上任意一点，过P作PE垂直AC,PF垂直BD，垂足分别为E、F，则PE+PF的长为（ ）

要理由，谢谢啦

解：设AC与BD相交于点O，作AH⊥BD于点H，连接PF
∵ABCD是矩形
∴OA=OD
∵△AOD的面积=1/2OD*AH=三角形AOP的面积+△POD的面积
∴1/2OD*AH=1/2OD(PE+PF)
∴PE +PF =AH
在△ADB中，AB*CD=BD*AH
即12=5AH
∴AH=12/5
∴PE +PF=12/5

三角形AEP相似于三角形DFP并相似于三角形ADC
由AB，BC可得AC=BD=5
PE/AP=PF/PD=AB/BD
而AP+PD=BD=5
PE+PF=AB=3

有图吗？

另AC,BD交点为O,连接PO
易证AO=DO=CO=BO=2.5,S三角形AOD=1/4*S矩形ABCD=3
则(AO*PE/2)+(OD*PF/2)=1/4*S矩形ABCD=3
所以PE+PF=12/5

答案是12/5
假设AP=a,DP=4-a,
容易证明△APE和△BCD相似，
矩形ABCD的长BC=4,宽AB=3，所以BD=5（勾股定理）
PE=3/5 ×a
同样，△DPF和△BCD也相似，PF=(4-a)×3/5
所以PE+PF=3/5 ×a+(4-a)×3/5=12/5

设AC和BD交于O点
∴SΔAOD=0.5AD×(0.5AB)＝0.5(AO×PE+DO×PF)=0.5AO(PE+PF)
AB=3,AD=BC=4
∴AO=DO=2.5
∴PE+PF=AD(0.5AB)/AO=4×0.5×3/2.5=12/5