现金可否直接存入对方对公账户

完全可以，在对方的开户行（或联网的同类银行）用银行统一印制的存款单填入对方的单位名称、银行帐号和要存入的金额，银行会为你办理的。同时，银行收进款项后，会给你一联回执。你可凭此回执来记账。
如是付给对方货款，应向对方索要发票，以作为支出凭证（银行回执作附件）；如是预付款，记入对方往来账。

这是不符合规定的，我找了下现金管理规定，国务院颁发的，这是其中几条，你看一下吧。

第五条 开户单位之间结算起点为一千元（含一千元）。超过结算起点的经济往来，必须通过银行办理转帐结算。未在银行开户的个体工商户、农村承包经营户，办理一千元以上（含一千元）的大宗异地采购，也应通过银行以汇兑方式办理转帐结算。
银行对个体工商户、农村承包经营户发放贷款，应当以转帐方式支付。

第六条 开户单位在经济往来中，不得拒收转帐结算凭证，不得对现金结算给予比转帐结算优惠的待遇。开户单位在经济往来中拒收转帐结算凭证的，持转帐结算凭证的一方，有权报告对方的开户银行查处。

第七条 开户单位在银行送存和支取现金，必须按规定分别在《现金缴款单》和《现金支取凭证》上，如实填写现金来源或用途等。

可以，不过做账的时候要有他们公司的收据。