数学线代求解

由A^2-4A+5I=0可以推出A^2-4A+4I+I=0，即(A-2I)(2I-A)=I
说明A-2I与2I-A互为逆矩阵
则有A-2I与2I-A的行列式乘积 = 1 ......(1)
显然：
2I-A的行列式=(-1)^n * A-2I的行列式
要使(1)式成立，只有n为偶数，否则(1)式左边为负，右边为正。

A^2-4A+51=0
A^2-4A+16=-51+16
(A-4)^2=-35
无解！！！难道不是51

令f(x)=x^2-4x+5
则f(x)是矩阵A的一个化零多项式，那么A的特征值只能是化零多项式的根。但是这个化零多项式又没有实根，说明n必定是偶数。
因为如果n是奇数，那么A的特征多项式就是奇数次多项式，因式分解后总会有一个一次因式，也就是说总有一个特征值是实数！

这里我用了一些《矩阵论》的知识，《线性代数》中我不记得有没有介绍过“化零多项式”的概念了。楼主有问题可以再讨论。

由A^2-4A+5I=0得(A-2I)^2=-I,两边取行列式得
(det(A-2I))^2=(-1)^n,
左边为非负数,右边是-1的幂,故幂指数必为偶数.