are you a teacher or student?

首先 名词前面一般必须有冠词

从句意；你是老师还是学生？

可看出问的不是特定的某个老师或同学，所以用
a 即可，而不用 the

teacher 和 student 在这里是同类型的名词，并列使用
可省后面的a

这句表示你是一个老师还是老师的学生？
是省略句型 我觉得

这个。。。。。呃。。。。。是省略吧

按语法应该加a.可能是比较口语话就省略掉了，现在英语都注重交流，象这种情况很多的。