求教一个微分方程的问题

很简单，需要了解一下微分方程的解的存在唯一性定理以及解的延展，我有些忘记了，简略证明如下。

证明：
对于初值问题 y'=(y^2+t)*siny,y(0)=k
容易看出右端函数F(t,y)=(y^2+t)*siny 在点(0,k)(k是常数)所构成的任何矩形邻域D内是连续的，同时对于F关于y的偏导数，Fy(t,y)=2y*siny+(y^2+t)cosy在邻域D内也连续，从而显然F关于y在邻域D上满足满足Lipschitz条件
这样也就满足存在唯一性定理的条件了，所以在邻域U(0;h。)上的解y(t)存在且唯一.这里h。=max{a,b/M},M=maxF(t,y),a,b是邻域D的区域半长
下面需要解的延展
同理容易知道右端函数F(t,y)在整个区域R上都连续，
且其关于y的偏导数Fy(t,y)在区域R上也连续，从而必然满足局部Lipschitz条件，从而，对于已经证明的y(t)在区域D上满足存在唯一性，从而根据上述推证，可以知道y(t)可以左右延展
综上证明可以知道该方程在R上的解有存在且唯一性。