高数高导

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/21 19:05:50
求下列函数所指定的阶的导数:
f(x)=(arcsinx)^2,求f(0)^(n)(f(0)的n阶导数).
在下苦手中```
望大家指点一二```

f'(x)=2(arcsinx)/√(1-x^2)
f''(x)=2/(1-x^2)+2(arcsinx)*(1-x^2)^(-3/2)
f'''(x)=4x/(1-x^2)^2+2/(1-x^2)^2+10*(arcsinx)*(1-x^2)^(-5/2)
显然,
当n为奇数时,分子只含有x,arcsinx项.所以,f(0)^(n)=0
当n为偶数时,分子含有x,arcsinx项的全为0.只有含有所以1/(1-x^2)^n项不为零,则f(0)^(n)等于1/(1-x^2)^n项的系数.为2*(n-2)!

即:
f(0)^(n)=0 n为奇数
f(0)^(n)=2*(n-2)! n为偶数