数学奥赛决赛题

12,13,14,...,12+k,共有k+1项。利用等差数列求和：＝`(12+12+k)*(k+1)/2 =(24+k)*(k+1)/2

将它分为3组后，各组和的比是 1：2：3，那么总和必然能被6整除，即：

(24+k)*(k+1)/2能被6整除，即（24＋k)(k+1)能被12整除。12＝3×4

那么(24+k)(k+1)能被3和4整除。
当k=3时，(24+3)*(3+1)/12=9 <12无法分组。
当k=8时，(24+8)*(8+1)/12=24,而12+13>24,仍然无法分组
当k=11时，(24+11)*(11+1)/12=35
可以分组：（17，18）,(12,13,14,15,16), (19,20,21,22,23)满足题目要求。即k最小为11。

12，12+1，12+2,……12+k,一共有k+1个数，它们是等差数列，这些数的和为
（12+12+k）*（k+1）/2=（k+1)(k+24)/2=k^2/2 +25k/2+12
最小的一组为（k^2/2 +25k/2+12）*1/6=k^2/12+25k/12+2=k(k+25)/2 +2
这个数必须是自然数
k+1个数要分成三组，则k+1一定是3的倍数，k是3的倍数-1，取2、5、8、11、14...检验，
最小的k为8，但k=8时，和的1/6为22，无论怎么分组都不可能得到22
再试k=11，和为35，取12和23（或14、22；15、21...）能满足，第二组为35*2=70，取13、14、21、22（或13、15、21、22，...），剩下的数的和必定为35*3=105
因此，k至少为11

最小的k是11
即12，13，14，……23
分为三组：17，18 和为35
12，13，14，15，16 和为70
19，20，21，22，23 和为105

设第一组数之和为X，则二三组数之和为2X，3X，总数为6X。
又12+12+1+12+2+*****12+k=(k+1)12+k(k+1)/2=k^2/2+2