负数究竟有没有平方根？

在实数范围内没有
在复数范围内有

有。i

在实数范围内，负数没有平方根,如x^2+1=0无解；
在复数范围内，负数有平方根，如-1=i^2 ，-1的平方根为i和-i；
复数包括实数和虚数，将平方是负数的数定义为纯虚数，形如bi，
所以虚数bi和-bi是负数-b^2的平方根。

根据虚数的定义来看
虚数中i为虚数单位 定义为 i^2=-1
对i来说
i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1
i^5 = i
i^6 = -1
...

所以我们知道 根号(-1)=正负i
同样 根号(-2)=正负i*根号2

但是

平方根这个概念是在实数的范畴内说的
对于虚数来说 根本没有算数根这个概念
所以也就不存在说什么虚数是负数的平方根
但是你可以说 纯虚数的平方是负数
反过来说则不行

至于虚数究竟是什么
这是一个相对抽象的概念 很难用实际的东西来描述

首先 虚数一定是“复”数

我们定义平方为负数的数为纯虚数 例如ai
另外虚数也可以是实数和纯虚数组成的复数 例如a+bi a、b≠0
这时他的平方就不是负数了

简单来说 虚数就是想象出来的 抽象的 所有非实数的数
理论上说 虚数并不真实存在
但是它却可以用来解决很多数学问题
并可以在坐标轴上与实数相对应
所以随着应用范围越来越广 虚数所包含的内容也越来越多

比较抽象了
你可以去看看百度百科里关于虚数的描述

负数没有实平方根。在复数中有虚平方根。规定i的平方等于-1