线形代数矩阵题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 02:09:56
A，B是n阶方阵，且A与B有相同的n个互异的特征根。证明：存在P，Q使A=QP，B=PQ，其中P，Q中有一个是可逆的。

A与B有相同的n个互异的特征根,故A与B相似于同一个对角阵,故A,B相似,则存在可逆矩阵P有
B=PAP^-1
设Q=AP^-1,则A=PQ,B=PQ.

显然，A和B相似，则存在可逆矩阵P使得PA=BP，再令Q=AP^{-1}，直接验证即可。