高考数学几何向量题

有勾股定理，AC=CF=FA=2√2，∴ACF为正三角形。下面证明三角形的中心与M连线得到的向量与底面垂直。
以D为原点，建立空间直角坐标系，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴。则有：
A（2，0，0）、C（0，2，0）、F（2，2，2）.
∴中心坐标（4/3，4/3，2/3）。
设M（x，x，z），
向量GM=（x-4/3，x-4/3，z-2/3），由MG⊥AF、MG⊥CF，代入向量坐标的x+z=2.
故M（x，x，2-x）。
点M在EF上，向量EM=λEF，代入坐标求得λ=1/3.故EF上存在一点M，使三棱锥M——ACF是正三棱锥。

设AB,BC,BF方向的单位向量分别为i,j,k
则:向量AB=2i,向量BC=2j,向量BF=2k,向量DE=k
所以:向量AF=向量AB+向量BF=2i+2k
向量FC=向量FB+向量BC=向量BC-向量BF=2j-2k
向量AC=向量AB+向量BC=2i+2j
所以:AF=FC=AC=2(根号2)

向量EF=向量ED+向量DB+向量BF=-向量DE+向量DA+向量AB+向量BF
=-向量DE-向量BC+向量AB+向量BF
=-k-2j+2i+2k=2i-2j+k
EF=(2^2+2^2+1)^(1/2)=3
设EM=X
则：向量EM=(X/3)(2i-2j+k)
向量AM=向量AD+向量DE+向量EM=向量BC+向量DE+向量EM
=2j+k+(X/3)(2i-2j+k)
=(2X/3)i+(2-(2X/3))j+(1+(X/3))k
MF=3-X
要使三棱锥M——ACF为正三棱锥
必须，AM=MF
AM^2=(3-X)^2
(2X/3)^2+(2-(2X/3))^2+(1+(X/3))^2=(3-X)^2
X=1
AM=MF=2
这时, 向量CM=向量CD+向量DE+向量EM=-向量AB+向量DE+向量EM
=-2i+k+(X/3)(2i-2j+k)
=-2i+k+(1/3)(2i-2j+k