微分方程里面关于Pdx+Qdy的原函数问题

这里涉及的知识比较多，主要思想是这样的：

1.Pdx+Qdy如果恰好是某个二元函数的全微分的话，方程的通解就能求出了（此时该方程称为全微分方程），比如，设
Pdx+Qdy＝du(x,y)
那么方程 Pdx+Qdy=0的通解便为：u(x,y)=C

2.但Pdx+Qdy不一定恰好是某个函数的全微分，判断依据是：dP/dy=dQ/dx，
即：此式成立（当然在某个区域内），存在u(x,y)，如果此式不成立，则不存在u(x,y)

3.在不存在u(x,y)的情况下，可能可以通过乘以某个函数或式子，使得方程成为全微分方程，比如方程：xdy-ydx=0，通过判断知道它不是全微分方程，但如果乘以1/x^2,方程变形为：
dy/x-(y/x^2)dx=0
通过验证可知它是全微分方程，并且
dy/x-(y/x^2)dx=d(y/x)

4.象上例这样，乘上的函数1/x^2便称为是积分因子了，一般来说，如果微分方程通过乘以某个函数变成了全微分方程，则称此函数称为该方程的积分因子。

5.若Pdx+Qdy＝du(x,y)，则有du/dx=P,du/dy=Q
因此dp/dy=d^2u/(dxdy)=d^2u/(dydx)=dQ/dx
反之亦然，这就是判断是否为全微分方程的依据。

我们常遇见的一类函数f满足fxy及fyx在点(x,y)处都连续，数学分析知识告诉我们有 fxy(x,y)=fyx(x,y);即跟偏导顺序无关这样的话我们可以知道存在f满足题意；
即如果dP/dy=dQ/dx时则有f满足fx=p,fxy=px;fy=Q,fyx=Qx这样dP/dy=dQ/dx即fxy=fyx所以确实有f找到了为它的原函数。

大一的吧？好好去答疑吧

这种方程是微分方程中的恰当方程，当dP/dy=dQ/dx实际上由二元函数的偏导数之间的关系可以知道，当二元函数f的二阶混合偏导数连续时对x先求导数后再对y求导与先对y求导再对x求导结果一样，而dP/dy=dQ/dx恰好满足这种形式，所以可以构造一个函数，使得它的全微分dF=Fxdx+Fydy=Pdx+Qdy，由P和Q已知可以