证明：若a+Ha=b+Hb=c+Hc, 则三角形ABC是正三角形

你应该学了二次函数了，学过伟达定理了吧？这个题目用这个好解

假设a+Ha=b+Hb=c+Hc=d，首先三角形的面积是定的即有
a*Ha=b*Hb=c*Hc=2S△；
从而有伟达定理有每一对都是二次方程x^2-dx+2S△=0的两个根；
并且根据直角三角形斜边不可能跟直角边相等知道不可能出现其他对应情况，只有a=b=c

1L错了，Ha不是a*h.....是a上的高。。。

Ha=bc/2R R为外接圆圆心
∴a+bc/2R=b+ac/2R=c+ab/2R
由a+bc/2R=b+ac/2R
得a-b+(b-a)c/2R=0
即(a-b)(1-c/2R)=0
若1-c/2R=0,则sinC=c/2R=1
C=90°Ha=b,Hb=a,a^2+b^2=c^2
a+b=b+a=c+ab/c
两边平方得a^2+b^2+2ab=c^2+a^2*b^2/c^2+2ab
又a^2+b^2=c^2
a^2*b^2/c^2=0,此式不可能成立
∴1-c/2R≠0
∴a=b
同理b=c,c=a
∴a=b=c

三角形的形状为等边三角形。

证明：反证法：

命题1：三角形为不等腰三角形
即：a ≠ b, Ha ≠ Hb
S = a/2 x Ha = b/2 x Hb
可以得出：
a x Ha = b x Hb
a = b x Hb/Ha
根据原有条件已知：
a + Ha = b x Hb/Ha + Ha = b + Hb
可以得出：
b x ( 1 – Hb/Ha ) = Ha – Hb
b/Ha x ( Ha – Hb ) = Ha – Hb
b/Ha = 1
b = Ha
通过图解可以看出, 这个三角形是一个等腰直角三角形，而命题一开始确定 : a ≠ b
结论 : 命题1不成立

命题2：ABC