高一物理竞赛问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/12 18:21:36
设质量为m的地球卫星正绕着地球沿半径为r0的圆形轨道运动。
（1）若地球卫星的机械能为E、动能为Ek，地球质量为M，万有引力恒量为G。已知与地球相距为r0的地球卫星的引力势能EP＝－GMmr0，试证明E＝－Ek＝－GMm2r0。
（2）若卫星运动受到微弱的摩擦阻力f（常量）作用，使卫星轨道半径r逐渐变小而接近地球。已知卫星运动一周，轨道半径的减小量r≪r。试证明：卫星运动一周，①轨道半径减小量r与轨道半径r的3次方成正比；②速率增量v与轨道半径r的32次方成正比。
第（2）问，第②小题的详解
若用求导，请写出详细过程
第（2）问，第②小题，是3/2次方不是32次方
并且只要第（2）问，第②小题的详解。
我的方法是mv^2/r=GMm/r^2
v^2=GM/r,v=(GM/r)^(1/2),dv/dr=-(1/2)*((GM)^(1/2)*r^(-3/2))
dv==-(1/2)*((GM)^(1/2)*r^(-3/2))*dr
无法证明v与轨道半径r的32次方成正比

既然你第（2）问，第①小题都解出来了,第②小题也不远了,按你的解法,我没算过,所以设dr=kr^3,代入你求出的式子:dv==-(1/2)*((GM)^(1/2)*r^(-3/2))*dr就行了

1
GMm/r0方=mv方/r0=2Ek/r0
Ek=GMm/2r0
Ep=-GMm/r0
E=Ek+Ep=-GMm/2r0=-Ek
2
ΔE=(GMm/2r0方)*Δr=f*2π*r0
Δr=(4f*π/GMm)*r0^3

v=根（GM/r0)=根（GM)*r0^-1/2
dv/dr=-1/2*根（GM)*r0^-3/2
Δv=-1/2*根（GM)*r0^-3/2*Δr=-1/2*根（GM)*r0^-3/2*(4f*π/GMm)*r0^3
=-1/2*根（GM)*(4f*π/GMm)*r0^3/2

引力势能为负
GMm/r0方=mv方/r0=2Ek/r0
Ek=GMm/2r0
Ep=-GMm/r0
E=Ek+Ep=-GMm/2r0=-Ek
2
ΔE=(GMm/2r0方)*Δr=f*2π*r0
Δr=(4f*π/GMm)*r0^3

ΔE=(GMm/2r0方)*Δr=f*2π*r0
Δr=(4f*π/GMm)*r0^3

v=根（GM/r0)=根（GM)*r0^-1/2
dv/dr=-1/2*根（GM)*r0^-3/2
Δv=-1/2*根（GM)*r0^-3/2*Δr=-1/2*根（GM)*r0^-3/2*(4f*π/GMm)*r0^3
=-1/2*根（GM)*(4f*π/GMm)*r0^3/2