二元函数微分学问题：

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 05:21:08
设函数f（x）在[a，b]连续可导，定义g（x，y）=[ f（x）—f（y）]/（x—y），（x，y）∈D={（x，y）｜a≤x≤b，a≤y≤b}，x≠y。问当x=y时，g（x，y）取何值可使g（x，y）连续。

要详细解答过程

g（x，y）在【a，b】上当x≠y时，由于f（x）连续可导，故g（x，y）也是连续的。当x=y时，g是没有定义的，你可以把x看成不动点，令y趋近于x把g（x，y)去极限，得
g（x，y）=f‘（x）。所以g（x，y）在x=y时取f‘（x）可使其连续。

解：由极限的洛必达法则求解
即求：lim(x→y)(f(x)-f(y))/(x-y)
当x→y时，x-y→0；f(x)-f(y)→0
这是一个0/0型的极限
使用 极限的洛必达法则
lim(x→y)(f(x)-f(y))/(x-y)
=lim(x→y)(f(x)-f(y))'/(x-y)' (对x，把y看做常数)
=lim(x→y)f'(x)/1
=f'(y)